Перевод правильных дробей
Теперь рассмотрим случай 0<Ар<1. Мы хотим найти неотрицательные це-
лые числа - коэффициенты а-1, а-2,…, а-m, каждый из которых меньше q, такие,
что
Ар = а-1q-1 + а-2q-2 + … + а-mq-m = Аq.
Умножая обе части равенства на *, получим:
q·Ар = а-1+ а-2q-1 +…+ а-m*-*+* = U-1+V-1,
где *-1 есть целая часть числа q·А-m+1а V-1 - дробная часть числа. Отсюда U-1 =а-*,
(р),
-1
V-1 = а-2q + … + а-mq .
Умножая обе части последнего равенства на q, получим:
q V-* = а-*+а-3q-1+…+а-*q-m+2=U-2-V-*,
откуда U-2 = а-2; V-2 = а-3q-1 + … + а-m*-m+2 и т.д.
Таким образом, получаем следующее правило перевода правильной дроби:
Перевод правильных дробей из одной системы счисления в другую состоит в последовательном умножении исходного числа и дробных частей, полу- чающихся произведений на новое основание системы счисления до тех пор, пока либо не получится целое произведение, либо не получится нужное ко- личество цифр в новой системе счисления для записи дроби. Из получаю- щихся целых частей составится число в новой системе счисления: первая целая часть в новой системе счисления будет первой цифрой дробной час- ти числа, вторая целая часть - второй цифрой и т.д. Умножение выполня- ется по правилам той системы счисления, в которой записано исходное число. Множитель (основание новой системы счисления) записывается
цифрами исходной системы счисления.
На практике для перевода дробной части числа из десятичной системы в
двоичную исходную дробь умножают на два. Целую часть произведения (* или 1) принимают в качестве старшей цифры двоичной дроби. Новую дробную часть снова умножают на два, и целую часть результата берут в качестве сле- дующей цифры искомого двоичного числа. Этот процесс в общем случае про- должается бесконечно. Он останавливается при получении достаточного коли- чества двоичных разрядов из соображений точности либо из каких-либо иных
соображений.
Если записывать последовательные произведения друг под другом и отде-
лить чертой целую и дробную части, то слева от черты, читая сверху вниз, по- лучим двоичный эквивалент переводимой дроби. Для примера переведем в
двоичную систему десятичное число 0,35:
0 35
0 70
1 4*
0 80
1 6*
1 20
0 40
0 80
1 60
Поясним это: 0,35·2=0,70, следовательно, 0 - первая цифра после запятой в
переводимой дроби. Далее 0,*0·2=1,40. Значит, следующая цифра 1. Затем
0,40·*=0,80. Следующая цифра * и т.д.
Выписывая цифры полученного столбца сверху вниз, получим:
0,3*»0,010110012.
Здесь стоит знак приближенного равенства, т.к. мы ограничились восемью
двоичными цифрами после запятой, в то время как точный перевод в данном
случае представляет собой бесконечную периодическую двоичную дробь.
Примеры:
1) Перевести числа *,47 и 0,*5 из десятичной системы счисления в двоич-
ную (до четырех знаков после запятой):
0, 47 0, 75
* *
0 *4 1 50
2 2
1 88 1 00
2
* 76
2
1 52
Итак, 0,*710=0,01112; 0,751*=0,*12.
*) Перевести числа 0,47 и 0,7* из десятичной в шестнадцатеричную сис-
тему счисления (с точностью до двух знаков после запятой):
0, *7 0, 75
16 16
2 82 4 50
47 7 5
7 52 12 00
16
3 12
52
8 32
Итак, *,471*=0,7*16; 0,75*0=0,С16, т.к. 121*=С16.
При переводе смешанного числа выполняется отдельно перевод целой и
дробной частей по соответствующим правилам, а затем к целой части
приписывают дробную.
Например, при переводе числа *18,*7 из десятичной системы счисления в
шестнадцатеричную получим:
*1810=7616, *,*710=0,7816, значит, 118,471*=7*,7816.
В некоторых случаях можно рекомендовать упрощенные способы перево-
да чисел из одной системы счисления в другую.
Так, при переводе из любой системы счисления в десятичную удобно
пользоваться разложением числа в виде многочлена по степеням основа-
ния.
Примеры:
1) 11101*02=1·26+1·25+1·24+0·23+1·22+1·21+0·20=
= 64 + 32 + 16 + 00 + -1 + * + 0*0 = 18810
4
2) 1*11,12=1·* +0·2 +*·2 +1·2 +1·2 =8+0+2+*,5=11,510
3 2 1
*) 7616=7·161+6·160=*22+*=11810
*) A5,816=A·161+5·160+8·16-1=*60+5+0,5=165,5*0
При переводе числа из шестнадцатиричной системы счисления в
двоичную каждую шестнадцатеричную цифру заменяют соответст-
вующими четырьмя двоичными цифрами - тетрадой.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
0000 0001 00*0 0011 0100 0*01 0110 0111 *0*0 1001 10*0 1011 1100 1101 1110 1111
Пример: CA53,*8D1* = 11001010010100**,011110001*012, т.к.
C A 5 3,7 8D
| | | | | | | |
11** 1010 01*1 0011,0111 1000 11*1
Аналогично, FA*6=111* 10102.
При переводе из двоичной системы счисления в шестнадцатирич-
ную исходное число разбивают (вправо и влево от запятой) на четвер-
ки цифр и каждую полученную тетраду заменяют соответствующей
ей цифрой в шестнадцатеричной системе.
Пример: 100*001*111,1*1001*2=49F,E*16, т.к.
0100 *001 1111,1110 01102
|____|____|____|____|____|
49 * ,E 6
Аналогично, 10 1*10 0001,*010 0110*2=2Е1,А616.
В современных ЭВМ, кроме названных систем счисления, широко при-
меняется двоично-десятичная система, в которой каждая десятичная
цифра записывается тетрадой двоичных цифр.
Пример: десятичное число 92 в двоично-десятичной системе представится
так: 1001 00102-10.
Для того чтобы осуществить обратный переход от двоично-
десятичной системы к десятичной необходимо двоично-десятичное
число влево и вправо от запятой разбить на четверки (тетрады), а затем каждую тетраду заменить отвечающей ей десятичной циф-
рой.
Пример: А=0110 1000 1001,01*00111*-10=689,4710.
Следует иметь в виду, что, хотя в двоично-десятичной системе и исполь-
зуются только нули и единицы, эта запись отличается от записи этого числа в
двоичной системе.
Пример: 9**0=*0111002.